如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=BC=2AA 1 ，∠ABC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A 1 B ∥ 平
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；（...
如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=BC=2AA 1 ，∠ABC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A 1 B ∥ 平面ADC 1 ；（Ⅱ）求二面角C 1 -AD-C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A 1 B 1 上是否存在点E，使AE与DC 1 成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．
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| （Ⅰ）证明：连接A 1 C，交AC 1 于点O，连接OD． 由ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱，得四边形ACC 1 A 1 为矩形，O为A 1 C的中点． 又D为BC中点，所以OD为△A 1 BC中位线， 所以A 1 B ∥ OD， 因为OD?平面ADC 1 ，A 1 B?平面ADC 1 ， 所以A 1 B ∥ 平面ADC 1 ．…（4分） （Ⅱ）由ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱，且∠ABC=90°， 故BA，BC，BB 1 两两垂直． 如图建立空间直角坐标系B-xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C 1 （2，0，1），D（1，0，0）． 所以
设平面ADC 1 的法向量为
所以
平面ADC的法向量为
由二面角C 1 -AD-C是锐角，得 cos＜
所以二面角C 1 -AD-C的余弦值为
（Ⅲ）假设存在满足条件的点E． 因为E在线段A 1 B 1 上，A 1 （0，2，1），B 1 （0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2． 所以
因为AE与DC 1 成60°角，所以 |
即 |
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