Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得△BOD∽△BAC？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴由

? b 2a ＝1 4a+2b+c＝3 9a?3b+2＝?12

，
解得

a＝?1 b＝2 c＝3

，
∴此二次函数的表达式为y=-x²+2x+3；

（2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x²+2x+3中，令y=0，则由-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=

32+32

=3

2

．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需

|BD|

|BC|

＝

|BO|

|BA|

，①或

|BO|

|BC|

＝

|BD|

|BA|

②成立．
若是①，则有|BD|=