Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点，AC与平面BC

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点，AC与平面BCC1B1所成角为45°．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求三棱锥B-AFC1的体积．

Answer 1

（1）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=

1

2

AC，
∵E是A₁C₁的中点，
∴FG∥EC₁，FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵AC与平面BCC₁B₁所成角为45°，
∴∠ACB=45°，
∵AC=2，
∴BC=

2

，AB=

2

，
∴VB?AFC1＝VC1?AFB=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

2

×2=

1

3

．