Question

设正项级数∞n＝1an收敛，证明级数∞n＝1nanan+1…a2n?1收敛

设正项级数∞n＝1an收敛，证明级数∞n＝1nanan+1…a2n?1收敛．





Answer 1

利用几何算术平均值不等式可得，

n	anan+1…a2n?1

=

n	1 n(n+1)…(2n?1)

?

n	nan(n+1)an+1…(2n?1)a2n?1

≤

1

n n(n+1)…(2n?1)

?

nan+(n+1)an+1+…+(2n?1)a2n?1

n

≤

1

n

?

nan+(n+1)an+1+…+(2n?1)a2n?1

n

≤

2n(2n?1)

n2

?

a1+2a2+…+(2n?1)a2n?1

2n(2n?1)

≤4

a1+2a2+…+(2n?1)a2n?1

2n(2n?1)

．
令b_n=a₁+2a₂+…+na_n，
由于

∞

n＝1

an收敛，故有

∞

n＝1

bn

n(n+1)

收敛，
从而

∞

n＝1

b2n?1

(2n?1)(2n)

收敛，
故

∞

n＝1

n	anan+1…a2n?1

收敛．