Question

“嫦娥三号”是我国嫦娥工程第二阶段的登月探测器，于2013年12月2日凌晨1时30分在西昌卫星发射中心发射，

“嫦娥三号”是我国嫦娥工程第二阶段的登月探测器，于2013年12月2日凌晨1时30分在西昌卫星发射中心发射，携“玉兔号”月球车奔向距地球38万千米的月球；6日17时53分，“嫦娥三号”成功实施近月制动，顺利进人距月面平均高度约100千米的环月轨道；14日21时11分在月球正面的虹湾地区，“嫦娥三号”又成功实现月面软着陆，开始对月表形貌与地质构造等进行科学探测．若“嫦娥三号”环月飞行时运行周期为T，环月轨道（图中圆轨道工）距月球表面高为h，质量为m．已知月球半径为R，引力常量为G，求：（1）月球的质量M；（2）月球表面的重力加速度g；（3）设想“嫦娥三号”完成了对月球的科学考察任务后，再返回绕月轨道工，若“嫦娥三号”在返回绕月轨道工过程中需克服月球引力做功W=mgR（1-Rr）（r为轨道半径、g为月球表面的重力加速度，均未知），则“嫦娥三号”的发动机应对“嫦娥三号”做多少功．

Answer 1

嫦娥三号环月飞行时万有引力提供向心力，根据万有引力定律和向心力公式，有：
G

Mm

(R+h)2

＝m(R+h)

4π2

T2

可得月球的质量M=

4π2(R+h)3

GT2

（2）在月球表面重力与万有引力相等有：
G

mM

R2

＝mg
解得：月球表面的重力加速度g=G

M

R2

＝

4π2(R+h)3

R2T2

（3）对于卫星在轨道I上的运动有：
卫星的线速度v=

2π(R+h)

T

所以，卫星在轨道上的动能Ek＝

1

2

mv2＝

1

2

m

4π2(R+h)2

T2

则，卫星从月球上返回时，只有月球的重力对卫星做功，根据动能定理有
W发动机+WG＝

1

2

mv2?0
所以卫星发动机做的功
W发动机＝?WG+

1

2

mv2=mgR(1?

R

R+h

)+

1

2

mv2=m

4π2(R+h)3

R2T2

R(1?

R

R+h

)+

1

2

m

4π2(R+h)2

T2

=

2mπ2(R+h)2

T2

(

2h

R

+1)
答：（1）月球的质量M为

4π2(R+h)3

GT2

；
（2）月球表面的重力加速度g为

4π2(R+h)3

R2T2

；
（3）设想“嫦娥三号”完成了对月球的科学考察任务后，再返回绕月轨道工，若“嫦娥三号”在返回绕月轨道工过程中需克服月球引力做功W=mgR（1-

R

r

）（r为轨道半径、g为月球表面的重力加速度，均未知），则“嫦娥三号”的发动机应对“嫦娥三号”做功为

2mπ2(R+h)2

T2

(

2h

R

+1)．