Question

已知点A(-2,3)在抛物线C:y^2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C

已知点A(-2,3)在抛物线C:y^2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F，则直线BF的斜率为多少？

Answer 1

答：
抛物线y^2=2px顶点在（0,0），
抛物线与准线不在y轴的同一侧
如果开口向左，则点A（-2,3）与抛物线同侧，
不符合题意
所以：抛物线的开口向右
所以：准线x=-p/2=-2
解得：k=4，抛物线为y^2=8x，焦点F（2,0）
在第一象限y=√(8x)，设点B为（8b^2，8b），b>0
对抛物线方程求导：y'(x)=√(2/x)
点B处切线斜率k=y'(x)=1/(2b)
所以：k=1/(2b)=(8b-3)/(8b^2 +2)
整理得：4b^2-3b-1=0
所以：(4b+1)(b-1)=0
解得：b=1（b=-1/4<0不符合舍去）
所以：点B为（8,8）
所以：BF的斜率=(8-0)/(8-2)=4/3
所以：BF直线的斜率为4/3