Question

如图，已知抛物线y=-x平方+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC。

(1)求A、B、C三点的坐标 (2)若点P为先打BC上的一点,PM平行y轴,且PM交抛物线于点M，交X轴于点N，当三角形BCM面积最大时，求三角形BPN周长 （3）在（2）条件下，当BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上存在Q，使三角形CNQ为直角三角形，求Q坐标

Answer 1

（1）令Y=0    -X²+2X+3=0 得 X=3或X=-1

∴A（-1,0）B（3，0）

令X=0    则Y=3

∴C（0,3）

（2）设直线BC：Y=kx+3（k≠0）

   3k+3=0   得   k=-1

∴直线BC：Y=-X+3

设P（X，-X+3）M（X，-X²+2X+3）

∴PM=（-X²+2X+3）-（-X+3）=-X²+3X

∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=1/2PM×（Xp-XC）+1/2PM×（XB-XP）=1/2PM（XB-XC）=3/2PM

∴S△BCM=3/2（-X²+3X）=-3/2（X-3/2）²+27/8

∴X=3/2时，S△BCM max

此时P（3/2，3/2）

∴PN=ON=3/2

∴BN=OB-ON=3-3/2=3/2

∴PB=3√2/2

C△BCN=BN+PN+PB=3+3√2/2

∴当S△BCM max，△BPN的周长为3+3√2/2

（3）抛物线对称轴：X=1

在Rt△CNO中，OC=3，ON=3/2

∴CN=3√5/2

设点D为CN中点，则D（3/4，3/2）

CD=ND=3√5/4

①若点Q为顶点

作Rt△CNO的外接圆⊙D，与抛物线对称轴交于Q1,Q2两点

连接Q1D，则Q1D=CD=ND=3√5/4

过D作对称轴的垂线，垂足为E

则E（1，3/2），Q1E=Q2E,DE=1-3/4=1/4

在Rt△Q1DE中  Q1E=√11/2

∴Q1（1,（3+√11）/2）Q2（1,（3-√11）/2）

②若点N为顶点

过点N作NF⊥CN，交对称轴于点Q3，交Y轴于点F

易知Rt△NFO∽Rt△CNO

则OF/ON=ON/OC 即OF÷（3/2）=3÷（2/3）

∴OF=3/4

∴F（0，-3/4）

又∵N（3/2,0）

∴直线FN：Y=1/2X-3/4

当X=1时，Y=-1/4

∴Q3（1，-1/4）

③点C为顶点

过点C作Q4C⊥CN，交对称轴于点Q4

∵Q4C∥FN

∴直线Q4C：Y=1/2X+3

当X=1时，Y=7/2

∴Q4（1，7/2）

综上所述，满足题意的点Q有4个

Q1（1，（3+√11）/2）Q2（1，（3-√11）/2）Q3（1，-1/4）Q4（1，7/2）