Question

已知关于x的一元二次方程x 2 -（4m+1）x+3m 2 +m=0．（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根

已知关于x的一元二次方程x 2 -（4m+1）x+3m 2 +m=0．（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△=[-（4m+1）] 2 -4（3m 2 +m）=4（m+ 1 2 ） 2 ， ∵（m+ 1 2 ） 2 是非负数， ∴4（m+ 1 2 ） 2 ≥0，即△≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）解关于x的一元二次方程x 2 -（4m+1）x+3m 2 +m=0得到，x= 4m+1±2(m+ 1 2 ) 2 ， ∴x 1 =，x 2 =m． 则由题意，得 3m+1＞2 m＜7 或 3m+1＜7 m＞2 ， 解得， 1 3 ＜m＜7． 即m的取值范围是 1 3 ＜m＜7．