Question

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，CD=BD，BF平分∠DBC，与CD，AC分别交于点E、点F，且DA=DE，H是BC边的中

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，CD=BD，BF平分∠DBC，与CD，AC分别交于点E、点F，且DA=DE，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：△EBD≌△ACD；（2）求证：点G在∠DCB的平分线上；（3）试探索CF、GF和BG之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDE=∠CDA=90°．
在△EBD与△ACD中，

DE＝DA ∠BDE＝∠CDA BD＝CD

，
∴△CBD≌△ACD（SAS）；

（2）证明：如图，过点G作GM⊥AB，GN⊥DC．
∵BD=CD，H是BC中点，
∴DH平分∠BDC，DH⊥BC．
∵GM⊥AB，GN⊥DC
∴GM=GN
∵BF平分∠ABC，GM⊥AB，GH⊥BC，
∴GM=GH，
∴GH=GN，
∴点G在∠DCB的平分线上；

（3）解：BG²=GF²+CF²．
理由如下：连接GC．由（1）知，△EBD≌△ACD，则∠1=∠2．
∵∠2+∠A=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠BFC=90°
∴CG²=GF²+CF²．
∵DH是BC的垂直平分线
∴BG=CG，
∴BG²=GF²+CF²．