已知函数f(x)＝ax?bx?2lnx，f(1)＝0．（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若
已知函数f(x)＝ax?bx?2lnx，f(1)＝0．（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且...
已知函数f(x)＝ax?bx?2lnx，f(1)＝0．（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1＝f′(1an?n+1)?n2+1，已知a1=4，求证：an≥2n+2；（3）在（2）的条件下，试比较11+a1+11+a2+11+a3+…+11+an与25的大小，并说明你的理由．
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（1）f（1）=a-b=0?a=b，
∴f(x)＝ax?
?2lnx，
∴f′(x)＝a+
?
．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，
当a＝0时，f′(x)＝?
＜0在（0，+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使f′(x)＝a(
?
)2+a?
＞0恒成立，则a?
＞0，解得a＞1，
当a＜0时，要使f′(x)＝a(
?
)2+a?
＜0恒成立，则a?
＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．
（2）根据题意得：f'（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，∴f′(x)＝(
?1)2，
于是an+1＝f′(
)＝(an?n)2?n2+1＝
?2nan+1，
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；
假设当n=k时，不等式ak≥2k+2成立，即ak-2k≥2也成立，
当n=k+1时，ak+1=ak（ak-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N*时5，都有an≥2n+2．
（3）由（2）得an=an-1（an-1-2n+2）+1≥an-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2an-1+1，
于是an+1≥2（an-1+1）（n≥2），
所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…an+1≥2（an-1+1），
累乘得：an+1≥2n?1(a1+1)，则
≤
?
(n≥2)，
所以
+
+…+
≤
∴f(x)＝ax?
| a |
| x |
∴f′(x)＝a+
| a |
| x2 |
| 2 |
| x |
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，
当a＝0时，f′(x)＝?
| 2 |
| x |
当a＞0时，要使f′(x)＝a(
| 1 |
| x |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当a＜0时，要使f′(x)＝a(
| 1 |
| x |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．
（2）根据题意得：f'（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，∴f′(x)＝(
| 1 |
| x |
于是an+1＝f′(
| 1 |
| an?n+1 |
| a | 2 n |
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；
假设当n=k时，不等式ak≥2k+2成立，即ak-2k≥2也成立，
当n=k+1时，ak+1=ak（ak-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N*时5，都有an≥2n+2．
（3）由（2）得an=an-1（an-1-2n+2）+1≥an-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2an-1+1，
于是an+1≥2（an-1+1）（n≥2），
所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…an+1≥2（an-1+1），
累乘得：an+1≥2n?1(a1+1)，则
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
| 2n?1 |
| 1 |
| 1+a1 |
所以
| 1 |
| 1+a1 |
| 1 |
| 1+a2 |
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
1+a1
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