已知函数f(x)=ax?bx?2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;(2)若
已知函数f(x)=ax?bx?2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且...
已知函数f(x)=ax?bx?2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1=f′(1an?n+1)?n2+1,已知a1=4,求证:an≥2n+2;(3)在(2)的条件下,试比较11+a1+11+a2+11+a3+…+11+an与25的大小,并说明你的理由.
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(1)f(1)=a-b=0?a=b,
∴f(x)=ax?
?2lnx,
∴f′(x)=a+
?
.
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=?
<0在(0,+∞)内恒成立;
当a>0时,要使f′(x)=a(
?
)2+a?
>0恒成立,则a?
>0,解得a>1,
当a<0时,要使f′(x)=a(
?
)2+a?
<0恒成立,则a?
<0,解得a<-1,
所以a的取值范围为a>1或a<-1或a=0.
(2)根据题意得:f'(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(
?1)2,
于是an+1=f′(
)=(an?n)2?n2+1=
?2nan+1,
用数学归纳法证明如下:
当n=1时,a1=4≥2×1+2,不等式成立;
假设当n=k时,不等式ak≥2k+2成立,即ak-2k≥2也成立,
当n=k+1时,ak+1=ak(ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2,
所以当n=k+1,不等式也成立,
综上得对所有n∈N*时5,都有an≥2n+2.
(3)由(2)得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…an+1≥2(an-1+1),
累乘得:an+1≥2n?1(a1+1),则
≤
?
(n≥2),
所以
+
+…+
≤
∴f(x)=ax?
a |
x |
∴f′(x)=a+
a |
x2 |
2 |
x |
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=?
2 |
x |
当a>0时,要使f′(x)=a(
1 |
x |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
当a<0时,要使f′(x)=a(
1 |
x |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
所以a的取值范围为a>1或a<-1或a=0.
(2)根据题意得:f'(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(
1 |
x |
于是an+1=f′(
1 |
an?n+1 |
a | 2 n |
用数学归纳法证明如下:
当n=1时,a1=4≥2×1+2,不等式成立;
假设当n=k时,不等式ak≥2k+2成立,即ak-2k≥2也成立,
当n=k+1时,ak+1=ak(ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2,
所以当n=k+1,不等式也成立,
综上得对所有n∈N*时5,都有an≥2n+2.
(3)由(2)得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…an+1≥2(an-1+1),
累乘得:an+1≥2n?1(a1+1),则
1 |
1+an |
1 |
2n?1 |
1 |
1+a1 |
所以
1 |
1+a1 |
1 |
1+a2 |
1 |
1+an |
1 |
1+a1
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