Question

已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有f(m)+f(n)m+n＞

已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式f(x+12)＜f(1?x)；（3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解答：（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数：
证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
可设x₁=m，x₂=-n，则

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

＞0，即

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞0，
当x₁＞x₂时，f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
综上：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
又由f(x+

1

2

)＜f(1?x)，
得

?1≤x+ 1 2 ≤1 ?1≤1?x≤1 x+ 1 2 ＜1?x

，解得0≤x＜

1

4

，
∴不等式f(x+

1

2

)＜f(1?x)的解集为{x|0≤x＜

1

4

}；
（3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（1）=1，
要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，
只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥1，即-2at+1≥0恒成立，
令y=-2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[-1，1]时y≥0恒成立，
因此只需要

?2t+1≥0 2t+1≥0

，解得?

1

2

≤t≤

1

2

，
∴实数t的取值范围为：?

1

2

≤t≤

1

2

．