Question

已知函数f(x)=ax^2/3-(a+1)x^2+4x+1 (a∈R)； （1）试讨论函数f(x)的单调区间；

已知函数f(x)=ax^2/3-(a+1)x^2+4x+1 (a∈R)；
（1）试讨论函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得x∈[-1,0]时，函数有最小值-3；
求详细过程！谢谢！
题目中应该是ax^3/3-(a+1)x^2+4x+1
第2问应该是负实数a

Answer 1

1）f'(x)=ax²-2(a+1)x+4=(ax-2)(x-2)
讨论a:
当a>1时， 极值点为2/a, 2, 单调增区间为:x<2/a, 或x>2; 单调减区间为(2/a, 2);
当a=1时，f'(x)=(x-2)²>=0, f(x)在R上单调增；
当0<a<1时，单调增区间为:x<2, 或x>2/a; 单调减区间为(2, 2/a);
当a=0时， f'(x)=-2(x-2), 单调增区间为：x<2, 单调减区间为x>2;
当a<0时， 单调增区间为：(2/a, 2), 单调减区间为：x<2/a,或x>2.
2）由1）的讨论，
当-2<a<0时，单调增区间为(2/a, 2), 因此在[-1, 0]单调增，最小值为f(-1)=-4a/3-4=-3, 得：a=-3/4
所以存在这样的a, 比如a=-3/4满足。

追问

第2题能解释的详细点么，谢谢！

追答

当-2<a<0时，单调增区间为(2/a, 2), 而此时2/a<-1, 因此在[-1, 0]单调增，最小值为f(-1)=-4a/3-4=-3, 得：a=-3/4， 这个a符合-2<a<0
所以存在这样的a, 比如a=-3/4满足,f(x)最小值为-3

追问

第2题只有a=-3/4这一种情况么

追答

题目只需证明存在即可，没有说找到全部解。你可以继续讨论a不同的情况下是否还有别的解。