Question

已知向量 a =(sinθ，-2) 与 b =(1，cosθ) 互相垂直，其中 θ∈(0，

已知向量 a =(sinθ，-2) 与 b =(1，cosθ) 互相垂直，其中 θ∈(0， π 2 ) ．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若 sin(θ-φ)= 10 10 ，0＜φ＜ π 2 ，求cosφ的值．

Answer 1

（1）∵ a 与 b 互相垂直，则 a ? b =sinθ-2cosθ=0 ， 即sinθ=2cosθ，代入sin 2 θ+cos 2 θ=1得 sinθ=± 2 5 5 ，cosθ=± 5 5 ，又 θ∈(0， π 2 ) ， ∴ sinθ= 2 5 5 ，cosθ= 5 5 （2）∵ 0＜?＜ π 2 ， 0＜θ＜ π 2 ， ∴ - π 2 ＜θ-?＜ π 2 ，则 cos(θ-?)= 1- sin 2 (θ-?) = 3 10 10 ， ∴cosφ= cos[θ-(θ-?)]=cosθcos(θ-?)+sinθsin(θ-?)= 2 2