Question

（2010?大连二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D是弧BC的中点，连接AD，交BC于点F．（1）过点D作D

（2010?大连二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D是弧BC的中点，连接AD，交BC于点F．（1）过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E，判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD=6，AC：AF=4：5，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）DE是⊙O的切线．（说明：结论（1分），但不重复得分）
证明：连接OD、BD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，（1分）
∵点D是弧BC的中点，
∴弧DC=弧BD，
∴∠CAD=∠OAD，（2分）
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，（3分）
∴∠ODE+∠AED=180°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，（4分）
又∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，（5分）
∴DE是⊙O的切线．（6分）

（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°（7分）
由（1）知，∠CAD=∠BAD，
∴△ACF∽△ADB，（8分）
∴

AD

AB

＝

AC

AF

＝

4

5

，
∴cos∠BAD＝

4

5

，
∴sin∠BAD＝

3

5

，
又∵sin∠BAD＝

BD

AB

，BD=CD=6，
∴AB=10，（9分）
∵AB是⊙O直径，
∴⊙O的半径为5．（10分）