Question

已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，2），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是

已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，2），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）．（1）求a的取值范围；（2）该二次函数的图象与直线y=2交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当a＞2时，试探索S1-S2是否为常数，若是求出该常数，若不是请说明理由．（提示：请先根据题目条件在给定的平面直角坐标系中画出示意图）

Answer 1

（1）由题意，c=2，a+b+2=0，
则b=-a-2，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于不同的两点A、B，
∴△=b²-4ac=（-a-2）²-4×2a=（a-2）²＞0，
又∵a＞0，
∴0＜a＜2或a＞2．
（2）如图，由ax²-（a+2）x+2=0解得，x=1或x=

2

a

，
则A（1，0），B（

2

a

，0）；
由ax²-（a+2）x+2=2解得，x=0或x=1+

2

a

，
则C（0，2），D（1+

2

a

，2）；
则S₁-S₂=

1

2

×（1+

2

a

-0）×（2×

1+ 2 a

1+ 2 a +1? 2 a

）-

1

2

×（1-

2

a

）×（2-2×

1+ 2 a

1+ 2 a +1? 2 a

）
=

1

2

×[（1+

2

a

-0）²-（1-

2

a

）²]=

4

a

不是常数．