已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）在[1，+∞）上单调
已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若定义在区间D上的...
已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式12[f（x1）+f（x2）]≥f（x1+x22）成立，则函数y=f（x）为区间D上的“下凸函数”．试证当a≤0时，f（x）为“下凸函数”．
展开
1个回答
展开全部
（1）解：a=0时，f（x）=x2+
（x＞0）
f′（x）=2x-
，令f′（x）=0，则x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
则x=1为f（x）的极值点．
（2）解：f′（x）=2x-
+
（x≥1），
由f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即2x3-2+ax≥0在[1，+∞）上恒成立，即有a≥
?2x2在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=
?2x2，g′（x）=-
-4x＜0，在[1，+∞）上恒成立，即g（x）在[1，+∞）上递减，
则g（x）的最大值为g（1）=0，
故a的取值范围是[0，+∞）．
（3）证明：f（
）-
[f（x1）+f（x2）]
=（
）2+
+aln（
）-
（x12+
+x22+
+alnx1+alnx2）
=-
（x1-x2）2+a（ln
-ln
| 2 |
| x |
f′（x）=2x-
| 2 |
| x2 |
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
则x=1为f（x）的极值点．
（2）解：f′（x）=2x-
| 2 |
| x2 |
| a |
| x |
由f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即2x3-2+ax≥0在[1，+∞）上恒成立，即有a≥
| 2 |
| x |
令g（x）=
| 2 |
| x |
| 2 |
| x2 |
则g（x）的最大值为g（1）=0，
故a的取值范围是[0，+∞）．
（3）证明：f（
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=（
| x1+x2 |
| 2 |
| 4 |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| x1 |
| 2 |
| x2 |
=-
| 1 |
| 4 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1x2 |
