Question

（2014?顺义区一模）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，点F是PD中点

（2014?顺义区一模）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，点F是PD中点，点E是DC边上的任意一点．（Ⅰ）当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）证明：无论点E在DC边的何处，都有AF⊥FE；（Ⅲ）求三棱锥B-AFE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵AD∩AP=A，
∴CD⊥平面PAD，
又AF?平面PAB，
∴AF⊥CD．
又PA=AD，点F是PD的中点，
∴AF⊥PD，
又∵CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD．
∵EF?平面PCD，∴AF⊥EF；
（Ⅲ）解：作FG∥PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，且FG＝

1

2

，
∴VB?AFE＝VF?ABE＝

1

3

S△ABEFG＝

3

12

，
∴三棱锥B-AFE的体积为

3

12

．