Question

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=3m，现有一个质量m=0.1kg的小物块P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为μ=0.25．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2．求：（1）物块P第一次通过C点时的速度大小和在C点处对轨道的压力；（2）物块P经过D点的次数．

Answer 1

（1）物块P从A下滑经B到C过程中根据动能定理：

1

2

m

v

2 C

＝mgLsin37°+mgR(1?cos37°)?μmgcos37°?L
解得vC＝

2gL(sin37°?μcos37°)+2gR(1?cos37°)

代入数据得，vC＝

26

m/s
又因为：m

v 2 C

R

＝FC?mg
FC＝m

v 2 C

R

+mg＝6.2N
由牛顿第三定律知，对C处的压力F_C′=F_C=6.2N．
（2）第一次过B点向下的速度v_B1，第一次返回B点向上的速度大小也为v_B1，冲至最高点A₁，设A₁至B的距离为L₁
A 至 B：mgLsin37°?μmgcos37°?L＝

1

2

m

v

2 B1

B至A₁：?mgL1sin37°?μmgcos37°?L1＝0?

1

2

m

v

2 B1

得：L1＝

sin37°?μcos37°

sin37°+μcos37°

L．
同理，第n次返回最高处A_n时，A_nB的距离L_n
Ln＝(

sin37°?μcos37°

sin37°+μcos37°

)nL＝

1

2n

L
第n次向下过B点的速度v_Bn
从A_n-1至B：mgLn?1?sin37°?μmgcos37°?Ln?1＝

1

2

m

v

2 Bn

得：vBn＝

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