Question

已知函数f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤12}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设函数g

已知函数f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤12}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+|2x+1|，若不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|?g（x）对任意m，n∈R且m≠0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由不等式f（x）≥|x+1|可得|x-a|≥|x+1|，
∵a＞0，由数轴可知∴解得x≤

a?1

2

，
∵不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤

1

2

}．
∴

1

2

＝

a?1

2

，得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=|x-2|+|2x+1|，
又不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|?g（x）
∴

|2m+n|+|m?n|

|m|

≥g(x)，
而

|2m+n|+|m?n|

|m|

≥

|2m+n+m?n|

|m|

＝3，
∴g（x）≤3恒成立，
即|x-2|+|2x+1|≤3，
解得x的取值范围：{x|?

2

3

≤x≤0}．