已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运...
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标;(3)如图二,设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,那么在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
展开
1个回答
展开全部
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
∴
解得
,
∴这条抛物线的解析式为:y=-x2+x+2.
(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,将B(2,0)、C(0,2)代入得:
,解得
,
∴直线BC的解析式为:y=-x+2.
如答图1,连接BC.
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成,△ABC面积固定,则只需要使得△PBC面积最大即可.
设P(x,-x2+x+2),
过点P作PF∥y轴,交BC于点F,则F(x,-x+2).
∴PF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x.
S△PBC=S△PFC+S△PFB=
PF(xF-xC)+
PF(xB-xF)=
PF(xB-xC)=PF
∴S△PBC=-x2+2x=-(x-1)2+1
∴当x=1时,△PBC面积最大,即四边形ABPC面积最大.此时P(1,2).
∴当点P坐标为(1,2)时,四边形ABPC的面积最大.
(3)存在.
∵∠CAO+∠ACO=90°,∠CAO+∠AED=90°,
∴∠ACO=∠AED,又∵∠CAO=∠CAO,
∴△AOC∽△ADE,
∴
=
,即
=
,解得AE=
,
∴E(
,0).
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点D为AC的中点,∴D(-
,1).
可求得直线DE的解析式为:y=-
x+
①.
∵y=-x2+x+2=-(x-
)2+
,∴M(
,
).
又A(-1,0),则可求得直线AM的解析式为:y=
x+
②.
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点A、C关于直线DE对称.
如答图2,连接AM,与DE交于点G,
此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小,故点G为所求.
联立①②式,可求得交点G的坐标为(-
,
).
∴在直线DE上存在一点G,使△CMG的周长最小,点G的坐标为(-
,
).
∴
|
|
∴这条抛物线的解析式为:y=-x2+x+2.
(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,将B(2,0)、C(0,2)代入得:
|
|
∴直线BC的解析式为:y=-x+2.
如答图1,连接BC.
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成,△ABC面积固定,则只需要使得△PBC面积最大即可.
设P(x,-x2+x+2),
过点P作PF∥y轴,交BC于点F,则F(x,-x+2).
∴PF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x.
S△PBC=S△PFC+S△PFB=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△PBC=-x2+2x=-(x-1)2+1
∴当x=1时,△PBC面积最大,即四边形ABPC面积最大.此时P(1,2).
∴当点P坐标为(1,2)时,四边形ABPC的面积最大.
(3)存在.
∵∠CAO+∠ACO=90°,∠CAO+∠AED=90°,
∴∠ACO=∠AED,又∵∠CAO=∠CAO,
∴△AOC∽△ADE,
∴
AE |
AC |
AD |
AO |
AE | ||
|
| ||||
1 |
5 |
2 |
∴E(
3 |
2 |
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点D为AC的中点,∴D(-
1 |
2 |
可求得直线DE的解析式为:y=-
1 |
2 |
3 |
4 |
∵y=-x2+x+2=-(x-
1 |
2 |
9 |
4 |
1 |
2 |
9 |
4 |
又A(-1,0),则可求得直线AM的解析式为:y=
3 |
2 |
3 |
2 |
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点A、C关于直线DE对称.
如答图2,连接AM,与DE交于点G,
此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小,故点G为所求.
联立①②式,可求得交点G的坐标为(-
3 |
8 |
15 |
16 |
∴在直线DE上存在一点G,使△CMG的周长最小,点G的坐标为(-
3 |
8 |
15 |
16 |
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询