已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运... 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标;(3)如图二,设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,那么在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由. 展开
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心諾007
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(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
?a+b+c=0
4a+2b+c=0
c=2
  解得
a=?1
b=1
c=2

∴这条抛物线的解析式为:y=-x2+x+2.

(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,将B(2,0)、C(0,2)代入得:
2k+b=0
b=2
,解得
k=?1
b=2

∴直线BC的解析式为:y=-x+2.
如答图1,连接BC.
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成,△ABC面积固定,则只需要使得△PBC面积最大即可.
设P(x,-x2+x+2),
过点P作PF∥y轴,交BC于点F,则F(x,-x+2).
∴PF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x.
S△PBC=S△PFC+S△PFB=
1
2
PF(xF-xC)+
1
2
PF(xB-xF)=
1
2
PF(xB-xC)=PF
∴S△PBC=-x2+2x=-(x-1)2+1
∴当x=1时,△PBC面积最大,即四边形ABPC面积最大.此时P(1,2).
∴当点P坐标为(1,2)时,四边形ABPC的面积最大.

(3)存在.
∵∠CAO+∠ACO=90°,∠CAO+∠AED=90°,
∴∠ACO=∠AED,又∵∠CAO=∠CAO,
∴△AOC∽△ADE,
AE
AC
=
AD
AO
,即
AE
5
=
5
2
1
,解得AE=
5
2

∴E(
3
2
,0).
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点D为AC的中点,∴D(-
1
2
,1).
可求得直线DE的解析式为:y=-
1
2
x+
3
4
 ①.
∵y=-x2+x+2=-(x-
1
2
2+
9
4
,∴M(
1
2
9
4
).
又A(-1,0),则可求得直线AM的解析式为:y=
3
2
x+
3
2
 ②.
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点A、C关于直线DE对称.
如答图2,连接AM,与DE交于点G,
此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小,故点G为所求.
联立①②式,可求得交点G的坐标为(-
3
8
15
16
).
∴在直线DE上存在一点G,使△CMG的周长最小,点G的坐标为(-
3
8
15
16
).
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