Question

哪位大神能帮忙证明一个线性代数问题。特征值之和为矩阵主对角元素之和。特征值之积，为行列式的值？高分

哪位大神能帮忙证明一个线性代数问题。特征值之和为矩阵主对角元素之和。特征值之积，为行列式的值？高分求急，谢谢大神了！！！

Answer 1

我们设方阵为A ，对角线的值为a11,a22......ann，系数行列式为|A - qE | = 0.特征值为q1，q2,...qn
那么|A - qE | = 0 对应q的n-1次（q (n - 1)）的系数为 a11 + a22 + a33 + ... + ann 即
| A - qE | = （-q）n + （a11 + a22 + ... ann）(-q)(n - 1) + ... (其他项我们不需要就不写了)
而我们又有 | A - qE | = （q1 - q）（q2 - q）...( qn - q ) (根据根和项数关系得到)
展开又可得q的n-1次的系数为 q1 + q2 + ...+qn
故：q1 + q2 + ...+qn = a11 + a22 + ... ann
那么第二个就更简单了：
| A - qE | = （q1 - q）（q2 - q）...( qn - q )我们设q = 0 则 |A| = q1*q2*...qn

Answer 2

我有这方面的证明

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？

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发给你了