Question

线性代数线性相关与线性表示问题

已知a1,a2,a3线性无关，且a1,a2,a3不能由b1,b2,b3线性表出。那么b1,b2,b3是线性相关还是线性无关？求过程

Answer 1

这个，，，，你没说前提条件啊，是几维空间啊？
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假若是三维空间，那么b1、b2、b3一定线性相关。
因为假若b1、b2、b3线性无关，那么它是R^3的一组基，
它可以线性表示R^3中的任何向量，自然就能表示a1、a2、a3
与已知矛盾
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假若是四维或五维空间，那么b1、b2、b3也一定线性相关。
否则，
假若b1、b2、b3线性无关，而它们不能线性表示a1、a2、a3，
那么a1、a2、a3、b1、b2、b3均线性无关，
也就是说，空间维数至少是六维
与空间维数相矛盾
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假若不止五维空间，是六维或以上空间，那就不一定了。

哪怕是六维就能举出反例！
例如：
a1={000001}
a2={000010}
a3={000100}
而
b1={001000}
b2={010000}
b3={100000}
显然，此时a1、a2、a3、b1、b2、b3均线性无关，
自然b1、b2、b3均无法表示a1、a2、a3
…………………………………………………………………………………………
再例如：
a1={000001}
a2={000010}
a3={000100}
而
b1={001000}
b2={002000}
b3={003000}
显然，此时a1、a2、a3线性无关，b1、b2、b3线性相关，
且b1、b2、b3均无法表示a1、a2、a3
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综上，假若空间维数不足六维，那么一定线性相关

假若空间维数至少六维，可能线性无关，也可能线性相关。

【经济数学团队为你解答！】

追问

谢谢回答，很用心。
a与b都是三维的。你所说的：因为假若b1、b2、b3线性无关，那么它是R^3的一组基。 意思是不是说b1,b2,b3是一个极大线性无关组的意思？

追答

完了，忘了极大是啥意思了，，，总之三维最多三个线性无关，三个以上一定相关！