Question

如图1，二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且A、B两点的坐标分别是(4，

如图1，二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且A、B两点的坐标分别是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝ (1)求抛物线解析式；(2)点M为抛物线上一点，若以MB为直径的圆与直线BC相切于点B，求点M的坐标；(3) 如图2，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x的动点，是否存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形；如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

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Answer 1

(1)解：因为二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且A、B两点的坐标分别是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝ 所以C（0,4）设抛物线方程为 所以得到所求的解析式为 (2)解：设点m(x,y),则由以MB为直径的圆与直线BC相切于点B，说明了点B为直径的一个端点，另外，BC直线方程为y=2x+4,利用BM的中点就是圆心坐标（ ），且 ，BM垂直于CB，因此联立方程组可得M   (3)解：假设存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形 则有几种情况的一种直角为C，直角为P，直角为O,直角为Q的情况 ，那么分情况讨论求解，利用一组对边平行，一个角为直角，进行求解得到P 1 (2,4)   P 2 (－2,0)    P 3 (4,0)    P 4 (－4,－8) (共5种情况，有两种情况点P重合)

(1)利用A、B两点的坐标和tan∠BCO＝ 求抛物线解析式 (2)设点m(x,y),则由以MB为直径的圆与直线BC相切于点B，说明了点B为直径的一个端点，另外，BC直线方程为y=2x+4,利用BM的中点就是圆心坐标，BM垂直于CB，因此联立方程组可得M的坐标 （3）假设存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形 则有几种情况的一种直角为C，直角为P，直角为O,直角为Q的情况 ，那么分情况讨论求解，利用一组对边平行，一个角为直角，进行求解