Question

已知{a n }是等差数列，其前n项和为5 n ，{b n }是等比数列，且a 1 =b 1 =2，a 2 +b 4 =21，b 4 -S 3 =1

已知{a n }是等差数列，其前n项和为5 n ，{b n }是等比数列，且a 1 =b 1 =2，a 2 +b 4 =21，b 4 -S 3 =1．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n =a n ?b n ，求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q， ∵a 1 =b 1 =2，a 2 +b 4 =21，b 4 -S 3 =1 ∴ 2+d+2 q 3 =21 2 q 3 -(3×2+3d)=1 ∴d=3，q=2 ∴a n =3n-1，b n =2 n ； （Ⅱ）c n =a n ?b n =（3n-1）?2 n ， ∴T n =2×2 1 +5×2 2 +…+（3n-1）?2 n ， ∴2T n =2×2 2 +5×2 3 +…+（3n-1）?2 n+1 ， ∴-T n =2×2 1 +3×2 2 +…+3?2 n -（3n-1）?2 n+1 =（4-3n）?2 n+1 -8 ∴T n =（3n-4）?2 n+1 +8．