Question

如图，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA 1 、B 1 C的中点。 （I）

如图，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA 1 、B 1 C的中点。 （I）证明：DE∥底面ABC；（II）设二面角A-BC-D为60°，求BD与平面BCC 1 B 1 所成的角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：设BC的中点为F，连结AF、EF，则EF∥CC 1 ，且EF= CC 1 ，  又AD∥CC 1 ，且AD= CC 1 ，   ∴EF∥AD，且EF=AD， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DE∥AF， 又∵DE 平面ABC，AF 平面ABC， ∴DE∥底面ABC。 （Ⅱ）解：连结DF， ∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC， 又∵AA 1 ⊥底面ABC， ∴AA 1 ⊥BC，  又∵AA 1 ∩AF=A， ∴BC⊥平面ADF，∴BC⊥DF， ∴∠AFD就是A-BC-D的平面角，即∠AFD=60°， ∵BB 1 ⊥底面ABC， ∴BB 1 ⊥AF，  又∵AF⊥BC，BC∩BB 1 = B， ∴AF⊥平面BCE， ∵DE∥AF， ∴DE⊥平面BCE， ∴∠DBE就是BD与平面BCC 1 B 1 所成的角， 设AF= a ，则DE= a ，AD= ，AB= ，∴BD= ， ∴sin∠DBE= = 。