Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE ∥ 平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF， ∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线． ∴ME ∥ CD，ME= 1 2 CD． 又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形， ∴AB ∥ CD，AB=CD，∴ME ∥ FB，且ME=FB． ∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE ∥ MF． ∵BE?平面PDF，MF?平面PDF， ∴BE ∥ 平面PDF． （2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD， ∴DF⊥PA．连接BD， ∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形． ∵F是AB的中点，∴DF⊥AB． ∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB． ∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB． （3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC． ∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影． ∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角． ∵O，E，分别是中点，∴OE= 1 2 AP=1，OD= 1 2 BD = 1 2 AB =1， ∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO=45°， 即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．