Question

已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1 +1，a 3 +1，a 7 +1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公

已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1 +1，a 3 +1，a 7 +1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令 b n = 1 a 2n -1 (n∈ N * ) ，记数列{b n }的前n项和为T n ，求证： T n ＜ 1 4 ．

Answer 1

（I）设等差数列{a n }的首项为a 1 ，因为a 1 +1，a 3 +1，a 7 +1成等比数列，所以有          （a 3 +1） 2 =（a 1 +1）（a 7 +1），即（a 1 +5） 2 =（a 1 +1）（a 1 +13），         解得：a 1 =3，所以a n =3+2（n-1）=2n+1； （II）证明：由（I）知：a n =2n+1，所以       b n = 1 a n 2 -1 = 1 (2n+1) 2 -1 = 1 4 ? 1 n(n+1) = 1 4 ( 1 n - 1 n+1 ) ， 所以 T n = 1 4 (1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 ) = 1 4 (1- 1 n+1 ) = 1 4 - 1 4(n+1) ＜ 1 4 ．