如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，设抛物线的对称轴...
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1， ）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．（3）如图2，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
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| （1）  ；（2）满足条件的点P的坐标有： 、 、 、 ；（3）存在点E能使S有最大值，最大值为3，此时点E的坐标为（1，0）． |
| 试题分析：本题考查了二次函数的综合运用.其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，在动点问题时要注意分情况讨论. (1)已知抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为：  ，将点C（0，4）代入即可求解.(2)求满足使△CDP为等腰三角形的动点P的坐标，一般地，当一等腰三角形的两腰不明确时，应分类讨论如下：如图①当PC=PD时：过点C作CE⊥DP交于点E，设CP=DP=a,由勾股定理易求  ，所以点 ；如图②当DC=DP时：即以点D为圆心，以CD的长为半径作圆，可以发现在对称轴上有两个符合条件的点，因为CD= ，故DP= .所以点P的坐标为 ， ；如图③当CD=CP时：点C在DP的垂直平分线上，过点C作CE⊥DP交于点E，此时易得DE=PE=4，所以点P的坐标为 .（3）先由 求得抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得直线AC的解析式为 .由于EF∥AC，可由平移设出直线EF的解析式为 ，此时可求得点E的坐标为 ．进而列方程组求出点F的坐标，最后利用 得出一个关于b的二次函数，利用二次函数性质可求出是否存在满足条件的点E. 试题解析： （1）解∵抛物线的顶点为  ∴可设抛物线的函数关系式为 ∵抛物线与y轴交于点C（0，4）， ∴  解得 ∴所求抛物线的函数关系式为 ．（2）解：满足条件的点P的坐标有： 、 、 、 （3）解：存在点E能使S有最大值，最大值为3，此时点E的坐标为（1，0）． 如图，令  解得x 1 ＝－2，x 2 ＝4． ∴抛物线 与x轴的交点为A(-2,0) ，B (4,0) ．∵A（-2,0），B（4,0），C（0,4）， ∴直线AC的解析式为 ，直线BC的解析式为  ．∵EF∥AC， ∴可设直线EF的解析式为 ，（-2<x<4）令  ，解得 ，∴点E的坐标为 ．∴BE=  ．解方程组 
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