Question

已知函数f(x)= ，(1)若 a =4，求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)求f(x)的极值；(3)若函数f(x)的

已知函数f(x)= ，(1)若 a =4，求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)求f(x)的极值；(3)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0，e 2 ]上有公共点，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(1)∵a=4， ∴ 且 ， 又∵ ， ∴ ， ∴f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为： ，即4x+e 2 y-9e=0． (2)f(x)的定义域为(0，+∞)， ， 令f′(x)=0得 ， 当 时，f′(x)＞0，f(x)是增函数； 当 时，f′(x)＜0，f(x)是减函数； ∴f(x)在 处取得极大值，即 。 (3)①当 ，即a＞-1时，由(2)知f(x)在(0， )上是增函数，在 上是减函数， ∴当 时，f(x)取得最大值，即 ； 又当x=e -a 时，f(x)=0，当x∈(0，e -a ]时，f(x)＜0， 当x∈(e -a ，e 2 ]时， ， 所以f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0，e 2 ]上有公共点， 等价于 ，解得a≥1， 又因为a＞-1，所以a≥1； ②当 ，即a≤-1时，f(x)在(0，e 2 ]上是增函数， ∴f(x)在(0，e 2 ]上的最大值为 ， ∴原问题等价于 ，解得a≥e 2 -2， 又∵a≤-1， ∴无解； 综上，a的取值范围是a≥1。