如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B、B1C、EF是共面向量
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B、B1C、EF是共面向量．...
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B、B1C、EF是共面向量．
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连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，
则有FG
DD1，BE
DD1，
∴FG
BE，可得四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG．
∵EF?平面A1BD，BG?平面A1BD，∴EF∥平面A1BD．
同理可得B1C∥平面A1BD，而向量
是平面A1BD内的向量
∴向量
、
、
都与平面A1BD平行．
由此可得：将向量
、
、
则有FG
| ∥ |
. |
| 1 |
| 2 |
| ∥ |
. |
| 1 |
| 2 |
∴FG
| ∥ |
. |
∴EF∥BG．
∵EF?平面A1BD，BG?平面A1BD，∴EF∥平面A1BD．
同理可得B1C∥平面A1BD，而向量
| A1B |
∴向量
| A1B |
| B1C |
| EF |
由此可得：将向量
| A1B |
| B1C |
