已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数且f′（1）=0（1
已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数且f′（1）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[-...
已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数且f′（1）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）作曲线y=f（x）条切线，求实数m取值范围．
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（1）∵f'（x）=3ax2+2bx-3，…（1分）
根据题意f'（x）是偶函数得b=0…（2分）
又f'（1）=0，∴3a-3-0，
∴a=1 …（3分）
∴f（x）=x3-3x．…（4分）
（2）令f'（x）=3x2-3=0，即3x2-3=0，解得x=±1．…（5分）
∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=-2．…（6分）
则对于区间x2=-
上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，
所以c≥4．
所以c的最小值为4．…（8分）
（3）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x0，y0）．则y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，∴切线的斜率为3x02-3．
则3x02-3=
，即2x03-6x02+6+m=0．…（10分）
∵过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点．…（11分）
则g'（x）=6x2-12x．
令g'（x）=0，解得 x=0或x=2．
∴
，即
根据题意f'（x）是偶函数得b=0…（2分）
又f'（1）=0，∴3a-3-0，
∴a=1 …（3分）
∴f（x）=x3-3x．…（4分）
（2）令f'（x）=3x2-3=0，即3x2-3=0，解得x=±1．…（5分）
| x | -2 | （-2，-1） | -1 | （-1，1） | 1 | （1，2） | 2 |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | -2 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ | 0 |
∴当x∈[-2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=-2．…（6分）
则对于区间x2=-
| a |
所以c≥4．
所以c的最小值为4．…（8分）
（3）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x0，y0）．则y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，∴切线的斜率为3x02-3．
则3x02-3=
| x03-3x0-m |
| x0-2 |
∵过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点．…（11分）
则g'（x）=6x2-12x．
令g'（x）=0，解得 x=0或x=2．
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| g'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| g（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
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