Question

已知函数f(x)＝mx?m?1x?lnx(m∈R)，g(x)＝1x+lnx．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1

已知函数f(x)＝mx?m?1x?lnx(m∈R)，g(x)＝1x+lnx．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h(x)＝2ex，若在[1，e]（e是自然对数的底数）上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，x＞0，g′（x）=

x?1

x2

，
∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，
所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故g（x）_极小值=g（1）=1．  …（4分）
（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）=mx?

m

x

?2lnx，
∴y′=

mx2?2x+m

x2

，
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）内为单调增函数，
所以mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥

2x

1+x2

在[1，+∞）上恒成立，
∵（

2x

1+x2

）_max=1，
∴m的取值范围是[1，+∞）．               …（8分）
（III）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）．
当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞

2e+2xlnx

x2?1

，令G（x）=

2e+2xlnx

x2?1

，
则G′（x）=

(?2x2?2)lnx+(2x2?4ex?2)

(x2?1)2

＜0，
所以G（x）在（1，e]上递减，G（x）_min=G（e）=

4e

e2?1

．
综上，要在[1，e]上存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，必须且只需m＞

4e

e2?1

．