Question

将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲

将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

Answer 1

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为2a-2x，
由于2a-2x＞0，则x∈（0，a），
且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，
其体积为V=x（2a-2x）²，（x∈（0，a））
V'=（2a-2x）（2a-6x），令V'=0，则x₁=a，x₂=

a

3

，
由x₁=a?（0，a），且对于x∈（0，

a

3

），V′＞0，x∈（

a

3

，a），V′＜0，
∴函数V在点x=

a

3

处取得极大值，由于问题的最大值存在，
∴V（

a

3

）=

16a3

27

即为容积的最大值，此时小正方形的边长为

a

3

．