Question

如图，在?ABCD中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF

如图，在?ABCD中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF=

1

2

AD，BE=

1

2

BC，
∴DF=BE，
在△ABE和△CDF中，

AB＝CD ∠B＝∠D BE＝DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：连接AC，
∵在?ABCD中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BE=CE=2，
∴AB=BE，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=EC，AE∥CF，
∴AB=BE=AE，
∴∠B=∠AEB=60°，
∴∠ECF=⊙AEB=60°，
∴∠ACE=

1

2

∠ECF=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACE=90°，
∴AC=

BC2?AB2

=2

3

．