Question

已知函数f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，且f（0）?f（1）＞0，（1）求：-b3a的范围； （2）若x1，x2是

已知函数f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，且f（0）?f（1）＞0，（1）求：-b3a的范围； （2）若x1，x2是方程f（x）=0的两实根，求|x1-x2|的取值范围．

Answer 1

解答：证明：（1）∵函数f（x）=3ax²+2bx+c，
∴f（0）?f（1）=c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0，则c=-（a+b），3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b，
∴-（a+b）（2a+b）＞0，即b²+3ab+2a²＜0，
∴（

b

a

）²+3×

b

a

+2＜0，解得-2＜

b

a

＜-1，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

，
故-

b

3a

的取值范围为

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

；
（2）∵x₁、x₂是方程f（x）=0的两个实根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁?x₂=

c

3a

=-

a+b

3a

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁?x₂=（-

2b

3a

）²+4×（

a+b

3a

）=

4

9

（

b

a

）²+

4

3

×

b

a

+

4

3

，
上式是关于

b

a

的一个二次函数，对称轴为

b

a

=-

3

2

，
由（1）可得，-2＜

b

a

＜-1，
∴∴|x₁-x₂|²在（-2，-

3

2

]上单调递减，在[-

3

2

，-1）上单调递增，
∴|x₁-x₂|²∈[

1

3

，

4

9

），
∴|x₁-x₂|的取值范围的取值范围为[

3

3

，

2

3

）．