Question

已知函数f（x）=x-2a?1x-2alnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≥

已知函数f（x）=x-2a?1x-2alnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝1+

2a?1

x2

?

2a

x

，
依题意有：f'（2）=0，即1+

2a?1

4

?a＝0，
解得：a＝

3

2

检验：当a＝

3

2

时，
f′(x)＝1+

2

x2

?

3

x

＝

x2?3x+2

x2

＝

(x?1)(x?2)

x2

此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
满足在x=2时取得极值
综上：a＝

3

2

．
（Ⅱ）依题意有：f_min（x，）≥0
f′(x)＝1+

2a?1

x2

?

2a

x

＝

x2?2ax+(2a?1)

x2

＝

(x?(2a?1))(x?1)

x2

，
令f′（x）=0，
得：x₁=2a-1，x₂=1，
①当2a-1≤1即a≤1时，
函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
于是f_min（x）=f（1）=2-2a≥0，
解得：a≤1；
②当2a-1＞1即a＞1时，
函数f（x）在[1，2a-1]单调递减，在[2a-1，+∞）单调递增，
于是f_min（x）=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合题意，
此时：a∈Φ；
综上所述：实数a的取值范围是a≤1．