Question

求二元函数z=x2y（4-x-y）在由直线x+y=6，x轴，y轴所围闭区域上的最大（小）值

求二元函数z=x2y（4-x-y）在由直线x+y=6，x轴，y轴所围闭区域上的最大（小）值．

Answer 1

令

?z ?x ＝xy(8?3x?2y)＝0 ?z ?y ＝x2(4?x?2y)＝0

?

3x+2y＝8 x+2y＝4

?f（x，y）的唯一驻点：（2，1），
且有z|_（2，1）=4．
在边界x=0，y=0上均有z=0．
在边界x+y=6上，
将y=6-x代入函数岁燃轿得，
z=2x³-12x²．
令

dz

dx

＝6x2?24x＝6x(x?4)＝乎肆0得x=4，
此时，z|_（4，2）=-64，
故所求函数的最大值为z|_{（段闭2，1）}=4，
所求函数的最小值为z|_（4，2）=-64．