Question

（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．①求证：AB2-AC2=BD2-CD2；②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求B

（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．①求证：AB2-AC2=BD2-CD2；②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2-CM2的值；（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．

Answer 1

（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，即AB²-AC²=BD²-CD²．
②BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，
∴BM²-CM²=BD²-CD²，
又CD²=AC²-AD²BD²=AB²-AD²，
∴BM²-CM²=AB²-AC²=8²-6²=28．


（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，

PE2+AE2＝PA2＝9 PE2+EB2＝PB2＝16 PF2+FC2＝25

；
则PD²=AE²+MD²，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=3

2

．