Question

抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

提问者：绿茶裱　|　优点奖励：12　|　浏览次数：22次　|　关注次数：0次 16分钟前
抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点.一动点从点E出发，沿线段EF匀速运动到点F，过点M作CM的垂线交x轴于点N，求点N所经过的路径长.

Answer 1

解：
（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
，
∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当N在EF左侧时，
∵∠NMC=90°，
则△MNF∽△MCH，
∴，
设FM=n，则MH=3-n，
∴，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥-5/4，
当N在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EN⊥CE交x轴于点N，则∠FEN=45°，
∵FN=EF=4，
∴ON=5，
即M为点E时，ON=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：-5/4≤m≤5．