Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC 2 =AB?AD．

Answer 1

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分） ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°， 两边除以2得： 1 2 ∠AOC+∠ACO=90°．②（4分） 由①，②，得：∠ACD- 1 2 ∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分） （2）如图，连接BC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分） 在Rt△ACD与Rt△ABC中， ∵∠AOC=2∠B， ∴∠B=∠ACD， ∴Rt△ACD ∽ Rt△ABC，（8分） ∴ AC AB = AD AC ，即AC 2 =AB?AD．（9分）