Question

如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，BD交CE于点N，交AE于点O，求证：（1

如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，BD交CE于点N，交AE于点O，求证：（1）∠AOB=120°；（2）CM=CN；（3）MN∥AB．

Answer 1

证明：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC＝CD ∠ACE＝∠DCB CE＝CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°，∠ACB是一个平角，
∴∠DCE=60°，
∴AD∥CE，DC∥BE，
∵AD∥CE，
∴∠DAM=∠AEC，
∵DC∥BE，
∴∠NDC=∠EBO，
∴∠EBO=∠CAM
∴∠AOB=∠OEB+∠EBO=∠AEC+∠CEB+∠EBO=∠DAE+∠CEB+∠CAM=∠DAC+∠CEB=60°+60°=120°；
（2）在△ACM和△DCN中，

∠CAE＝∠CDN CA＝CD ∠ACM＝∠DCN

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；
（3）∵CM=CN，∠DCE=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠MNC=∠ECB=60°，
∴MN∥AB．