Question

已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作一条直线，分别交BD、CD、BC的延长线于E、F、G．求证：（1）∠DAF=∠D

已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作一条直线，分别交BD、CD、BC的延长线于E、F、G．求证：（1）∠DAF=∠DCE；（2）CE与△CGF的外接圆⊙O相切．

Answer 1

（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，既∠ADF=∠DCE；

（2）∵∠GCF=90°，
∴△CGF是直角三角形，
∴△CGF的外接圆的圆心O为GF的中点，
连接OC，∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=∠AFD，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAF=∠FCE，
∴∠OCF+∠FCE=∠AFD+∠DAF=90°，
∴∠OCE=90°，
∴CE与△CGF的外接圆⊙O相切．