（2012?南岗区二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE．（1）如图1，△ABC为
（2012?南岗区二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE．（1）如图1，△ABC为锐角三角形时，求证：AE-CE=2DE；（2）...
（2012?南岗区二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE．（1）如图1，△ABC为锐角三角形时，求证：AE-CE=2DE；（2）如图2，在（1）的条件下，作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=2CF，AE=6，求GH的长．
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解：（1）过点D作DN⊥DE交AE于点N．∵CD⊥AD，∠BAC=45°，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD．
∵∠ADN+∠NDC=∠ADC=90°=∠NDC+∠EDC，
∴∠ADN=∠EDC，
∵高线CD与高线AE相交于点H，
∴∠DAH+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DAH=∠DCB，
在△ADN和△CDE中，
|
∴△ADN≌△CDE（ASA），
∴CE=AN，DE=DN，
∴∠DEN=45°，EN=
| 2 |
∴AE-EC=AE-AN=EN=
| 2 |
（2）由（1）可得：∠BED=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，EF平分∠AEC，
∴∠CEF=45°，
∴∠CEF=∠BED，∠CFE=180°-∠CEF-∠ACB=180°-45°-∠ACB，
∵∠BAC=45°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-45°-∠ACB，
∴∠B=∠CFE，
∴△DBE∽△CFE，
∴
| BD |
| CF |
| DE |
| CE |
∵BD=
| 2 |
∴DE=
| 2 |
设EC=x，则DE=
| 2 |
由（1）结论可得：6-x=2x，
解得：x=2，
∴EC=2，DE=2
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