已知定义域为R的函数f（x）=b?2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上
已知定义域为R的函数f（x）=b?2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2...
已知定义域为R的函数f（x）=b?2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的范围．
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（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴
=-
，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=
，满足f（-x）=-f（x）是奇函数． …（4分）
（2）由（1）得f（x）=
=-1+
，
任取实数x1、x2，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
-
=
∵x1＜x2，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数； …（8分）
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）
也就是：t2-2t＞-2t2+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t2-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2-2t=3（t-
）2-
，当t=
时有最小值为-
∴k＜-
又∵f（-1）=-f（1）
∴
| 1?2?1 |
| 2?1+a |
| 1?2 |
| 2 +a |
经检验当a=1且b=1时，f（x）=
| 1?2x |
| 2x+1 |
（2）由（1）得f（x）=
| 1?2x |
| 2x+1 |
| 2 |
| 2x+1 |
任取实数x1、x2，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
| 2 |
| 2x1+1 |
| 2 |
| 2x2+1 |
| 2(2x2?2x1) |
| (2x1+1)(2x2+1) |
∵x1＜x2，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数； …（8分）
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）
也就是：t2-2t＞-2t2+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t2-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2-2t=3（t-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴k＜-
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