已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为53，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为53，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+...
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为53，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
…（3分）
∴b=2，…（4分）
∴所求椭圆方程为
+
＝1． （5分）
（2）设P点坐标为（x0，y0），
依题意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP为矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP为正方形，则有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|=
有2=
两边平方得x02+y02=8…①（9分）
又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y02=36…②
①，②联立解得x02＝
，y02＝
（11分）
所以满足条件的有以下四组解
|
∴b=2，…（4分）
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）设P点坐标为（x0，y0），
依题意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP为矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP为正方形，则有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|=
| |OP|2?|AP|2 |
| x02+y02?4 |
两边平方得x02+y02=8…①（9分）
又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y02=36…②
①，②联立解得x02＝
| 36 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
所以满足条件的有以下四组解
