Question

如图（1），AB是半径为R的⊙O的一条弦，点P是⊙O上任意一点（与A、B不重合）若R=2，AB=23（1）若点P在⊙O

如图（1），AB是半径为R的⊙O的一条弦，点P是⊙O上任意一点（与A、B不重合）若R=2，AB=23（1）若点P在⊙O优弧AB上，AP、BP分别与以AB为直径的圆交于C、D点①请利用图（1）求∠APB的度数．②请利用图（2）求CD的长．（2）若点P是⊙O劣弧AB上一点，如图（3）AP、BP的延长线分别交以AB为直径的圆于C、D，你还能求出CD的长吗？若能，请求出CD的长；若不能，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）①连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于E，
∵AB=2

3

∴OE=

3

∵OA=2
∴sin∠AOE=

3

2

∴∠AOE=60°
∴∠AOB=120°
∴∠APB=60°；

②设AB的中点，即圆心是M，连接CM，DM，
由①可知∠P=60°
∴∠A+∠B=120°
∵∠ACM=∠A，∠B=∠BDM
∴∠AMC+∠BMD=360°-240°=120°
∴∠CMD=180°-120°=60°
∴△CMD是等边三角形
∵AB=2

3

∴CD=CM=DM=

1

2

AB=

3

；

（2）设AB的中点，即圆心是M，连接CM，DM，
由（1）可知∠APB=180°-60°=120°
∴∠CDB+∠DCA=60°
∴∠AMD+∠CMB=120°
∴∠CDM=180°-120°=60°
同（1）②可得CD=CM=DM=

1

2

AB=

3

．