（2013?大连一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．（Ⅰ
（2013?大连一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角A1...
（2013?大连一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角A1-AB1-D的大小．
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（Ⅰ）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，
∵D为A1C1的中点，
∴DE为△A1BC1的中位线，
∴BC1∥DE．
又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D
（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，
∴B1D＝
A1B1＝
a，
在直角三角形AA1D中，
∵AD＝
＝
a，
∴AD=B1D．
∴DE⊥AB1，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，又得DF＝
a，
∵△B1FE∽△B1AA1，
∴
＝
?EF＝
∵D为A1C1的中点，
∴DE为△A1BC1的中位线，
∴BC1∥DE．
又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D
（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，
∴B1D＝
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
在直角三角形AA1D中，
∵AD＝
A
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| 2 |
∴AD=B1D．
∴DE⊥AB1，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，又得DF＝
| ||
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∵△B1FE∽△B1AA1，
∴
| EF |
| AA1 |
| B1E |
| A1B1 |
|
