Question

设f′（x）连续，F（x）=∫x0f（t）f′（2a-t）dt，证明：F（2a）-2F（a）=f2（a）-f（0）f（2a）

设f′（x）连续，F（x）=∫x0f（t）f′（2a-t）dt，证明：F（2a）-2F（a）=f2（a）-f（0）f（2a）．

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

证明：∵F(x)＝

∫

x 0

f(t)f′(2a?t)dt＝?

∫

x 0

f(t)df(2a?t)
=?f(t)f(2a?t)

|

x 0

+

∫

x 0

f′(t)f(2a?t)dt
=f(0)f(2a)?f(x)f(2a?x)+

∫

x 0

f′(t)f(2a?t)dt
对于积分

∫

x 0

f′(t)f(2a?t)dt，令u=2a-t，则du=-dt，且t=0时，u=2a；t=x时，u=2a-x
∴

∫

x 0

f′(t)f(2a?t)dt=?

∫

2a?x 2a

f′(2a?u)f(u)du=?

∫

0 2a

f(u)f′(2a?u)du?

∫

2a?x 0

f(u)f′(2a?u)du=F（2a）-F（2a-x）
∴F（x）=f（0）f（2a）-f（x）f（2a-x）+F（2a）-F（2a-x）
令x=a，则F（a）=f（0）f（2a）-f（a）f（a）+F（2a）-F（a）
即F（2a）-2F（a）=f²（a）-f（0）f（2a）．
得证．