Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△CMN为等腰三角形？

Answer 1

解答：解：（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；

（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴

CN

CD

=

CM

CG

，
即

t

5

=

10-2t

7

．
解得，t=

50

17

；

（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图2，即t=10-2t，
解得：t=

10

3

；
②当MN=NC时，如图3，过N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三线合一性质得
EC=

1

2

MC=

1

2

（10-2t）=5-t．
在Rt△CEN中，cosC=

EC

NC

=

5-t

t

，
又在Rt△DHC中，cosC=

CH

CD

=

3

5

，
∴

5-t

t

=

3

5

．
解得：t=

25

8

；
③当MC=MN时，如图4，过M作MF⊥CN于F点，FC=

1

2

NC=

1

2

t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴

FC

HC

=

MC

DC

，
即

1 2 t

3

=

10-2t

5

，
解得：t=

60

17

．
综上所述，当t=

10

3

、t=

25

8

或t=

60

17

时，△MNC为等腰三角形．