Question

已知函数f（x）=ex-ax-1，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对任意的x

已知函数f（x）=ex-ax-1，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求正实数a的值；（3）在（2）的条件下，n∈N*，证明：（1n）n+（2n）n+…+（n?1n）n+（nn）n＜ee?1．

Answer 1

（1）由f′（x）=e^x-a，得x=lna，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单减区间为（-∞，lna），单增区间为（lna，+∞），
所以a≤0时，f（x）只有单调递增区间为（-∞，+∞）．
a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna）．…（5分）
（2）由（1）得f（x）的最小值为f（lna）=a-alna-1，
f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即f（x）_min≥0．
设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0，得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（9分）
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），则0＜1-

k

n

≤e-

k

n

．
∴（1-

k

n

）n≤（e-

k

n

）n=e-k．
∴（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n?1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ≤e-（n-1）+e-（n-2）+…+e-2+e-1+1
=

1?e?n

1?e?1

＜

1

1?e?1

=

e

e?1

．…（14分）